如图1.在△ABC中.∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于A1．(1)当∠A为70°时.∠A1= °,(2)如图2.∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2.∠A2BC与A2CD的平分线交于A3.如此继续下去可得A4.请写出∠A与∠A4的数量关系 ,(3)如图3.若E为BA延长线上一动点.连EC.∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q.试求∠Q与� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于A₁．
（1）当∠A为70°时，∠A₁=

°；
（2）如图2，∠A₁BC的角平分线与∠A₁CD的角平分线交于A₂，∠A₂BC与A₂CD的平分线交于A₃，如此继续下去可得A₄，请写出∠A与∠A₄的数量关系

；
（3）如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，试求∠Q与∠A₁的数量关系．

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：规律型

分析：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，根据角平分线的定义可得∠A₁CD=

∠ACD，∠A₁BC=

∠ABC，然后整理即可得到∠A₁=

∠A；
（2）根据（1）的计算规律解答即可；
（3）根据三角形的内角和定理表示出∠ACE+∠AEC，再根据角平分线的定义表示出∠QCE+∠QEC，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
∵∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于A₁，
∴∠A₁CD=

∠ACD，∠A₁BC=

∠ABC，
∴∠A₁+∠A₁BC=

（∠A+∠ABC）=

∠A+

∠ABC，
∴∠A₁=

∠A，
∵∠A=70°，
∴∠A₁=35°；

（2）由（1）同理可得∠A₂=

∠A₁，
∠A₃=

∠A₂，
∠A₄=

∠A₃，
∴∠A=16∠A₄；
故答案为：35；∠A=16∠A₄．

（3）∵EQ、CQ分别为∠AEC、∠ACE的角平分线，
∴∠QEC=

∠AEC，∠QCE=

∠ACE，
又∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，
∴∠Q=180°-（∠QEC+∠QCE）=180°-

（∠AEC+∠ACE），
=180°-

∠BAC，
由（1）可知∠BAC=2∠A₁，
∴∠Q=180°-∠A₁，
∴∠Q+∠A₁=180°．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．

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