Question

3．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段AD和DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可；
（2）连接OE，作OH⊥AD于H．则AH=DH，由△AOH∽△ABC，可得$\frac{AH}{AC}$=$\frac{OA}{AB}$，推出AH=$\frac{6}{5}$，AD=$\frac{12}{5}$，设DE=BE=x，CE=8-x，根据OE²=DE²+OD²=EC²+OC²，列出方程即可解决问题；

解答 （1）证明：连接OD，
∵EF垂直平分BD，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠EDB+∠ODA=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：连接OE，作OH⊥AD于H．则AH=DH，
∵△AOH∽△ABC，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{OA}{AB}$，
∴$\frac{AH}{6}$=$\frac{2}{10}$，
∴AH=$\frac{6}{5}$，AD=$\frac{12}{5}$，设DE=BE=x，CE=8-x，
∵OE²=DE²+OD²=EC²+OC²，
∴4²+（8-x）²=2²+x²，
解得x=4.75，
∴DE=4.75．

点评 本题考查切线的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．