Question

如图正方形ABCD的边长是a，△AEF是等边三角形，点E在BC上，点F在CD上
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）求等边△AEF的边长．

Answer 1

分析：（1）根据正方形可知AB=AD，由等边三角形可知AE=AF，于是可以证明出△ABE≌△ADF；
（2）再根据全等三角形的性质得到BE=DF，设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1-x，那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出BE，进而求出等边△AEF的边长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AB=AD AE=AF

，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF；
（2）∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，
设BE=x，那么DF=x，CE=CF=a-x，
在Rt△ABE中，AE²=AB²+BE²，
在Rt△EFC中，FE²=CF²+CE²，
∴AB²+BE²=CF²+CE²，
∴a²+x²=2（a-x）²，
∴x=2a±

3

a，
∵x＜a，
∴x=2a-

3

a，
∴AE=

AB2+BE2

=

8-4 3

a．
∴等边△AEF的边长为：

8-4 3

a．

点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是对正方形和三角形的性质的熟练运用，此题难度不大，是一道比较不错的试题．