Question

在平面直角坐标系中，直线y₁=kx-4k与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线y₂=4x交于点C；双曲线y=

m

x

过点C，与直线y₁交于另一点D，与直线y₂交于另一点M，已知S_△ACO=8，在直线x=

1

3

上是否存在点N使得△NCD为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：由直线y₁=kx-4k得到点A（4，0），根据S_△ACO=8得到点C（1，4），从而确定直线和双曲线的解析式，然后求得两个图象的交点D的坐标，分当∠NDC=90°时和当∠NCD=90°时两种情况求得直线CN的解析式，从而求得点N的坐标．

解答：解：存在
由直线y₁=kx-4k，当y=0时，x=4，
∴点A（4，0），
∵S_△ACO=8，
设△ACO的高为h，
∴

1

2

OA•h=8
∴h=4
∴点C（1，4），
把点C（1，4）代入y₁得4=k-4k，
解得：k=-

4

3

，
∴y₁=-

4

3

x+

16

3

∵双曲线y=

m

x

过点C，
∴双曲线的解析式为y=

4

x

，
由

y1=- 4 3 x+ 16 3 y= 4 x

∴D（3，

4

3

）
当∠NDC=90°时，直线ND为y=

3

4

x-

11

12

由x=

1

3

时，y=

2

3

，
即N（

1

3

，-

2

3

）
当∠NCD=90°时，直线CN为y=

3

4

x+

13

4

，
由x=

1

3

时y=

7

2

，
即N（

1

3

，

7

2

），
当∠CND=90°时，以CD为直径做圆，与直线x=

1

3

交于两点，
这两点即是点N（

1

3

，

8+ 14

3

）（

1

3

，

8-2 14

3

），
综上所述：N₁（

1

3

，-

2

3

），N₂（

1

3

，

7

2

），N₃（

1

3

，

8+ 14

3

），N₄（

1

3

，

8-2 14

3

）．

点评：本题考查了反比例函数的综合知识，题目中应用了互相垂直的两条直线的比例系数的乘积为1这一知识，难度中等偏上．