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18.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,两条对角线相交于点O,直线EF经过点O,且EF⊥AB于点E,交边AD的延长线于点F.如果菱形的周长为24cm,求DF与OF的长.

分析 利用菱形的性质得AD=AB=6cm,AC平分∠BAD,AC⊥BD,则∠DAC=∠BAC=30°,再根据含30度的直角三角形三边的关系,在Rt△AOD中计算出OD=$\frac{1}{2}$AD=3,AO=$\sqrt{3}$OD=3$\sqrt{3}$,则在Rt△AOE中可计算出OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,AE=$\sqrt{3}$OE=$\frac{9}{2}$,然后在Rt△AEF中计算出AF=2AE=9,EF=$\sqrt{3}$AE=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$,最后利用DF=AF-AD和OF=EF-OE进行计算即可.
即DF与OF的长分别为3cm,3$\sqrt{3}$cm.

解答 解:∵四边形ABCD为菱形,
∴AD=AB=6cm,AC平分∠BAD,AC⊥BD,
∵∠BAD=60°,
∴∠DAC=∠BAC=30°,
在Rt△AOD中,∵∠OAD=30°,
∴OD=$\frac{1}{2}$AD=3,
AO=$\sqrt{3}$OD=3$\sqrt{3}$,
在Rt△AOE中,OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
AE=$\sqrt{3}$OE=$\frac{9}{2}$,
在Rt△AEF中,∵∠EAF=60°,
∴AF=2AE=9,EF=$\sqrt{3}$AE=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$,
∴DF=AF-AD=9-6=3,OF=EF-OE=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$,
即DF与OF的长分别为3cm,3$\sqrt{3}$cm.

点评 本题考查了菱形的性质:菱形具有平行四边形的一切性质;菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.利用应用含30度的直角三角形三边的关系是解决此题的关键.

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(1)求证:点E是BC的中点;
(2)若AB=4,
①当BC=4时,四边形ODCE是平行四边形;
②当BC=2时,四边形ODCE的面积为$\frac{7}{5}$.

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10.下列说法正确的是(  )
A.同位角相等
B.和已知直线平行的直线有且只有一条
C.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
D.在平面内过一点有且只有一条直线平行于已知直线

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7.作图题
(1)如图1,用尺规作出以边长为a作菱形ABCD(不写作法,保留作图痕迹);
(2)如图2,107国道OA和320国道OB在我市相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使P到OA、OB的距离相等,且使PC=PD,用尺规作出货站P的位置(不写作法,保留作图痕迹).

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8.如图,E,F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点,AE=CF.
(1)猜想BE与DF有怎样的位置关系BE∥DF.
(2)猜想BE与DF有怎样的数量关系BE=DF.
(3)从(1)、(2)中选一个你喜欢的结论给予证明.

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