Question

如图，a、b两数在数轴上对应点的位置如图所示：

（1）在数轴上标出-a、-b对应的点，并将a、b、-a、-b用“＜”连接起来；
（2）化简：|2（-a+1）|-|b-2|+2|a-b|；
（3）x是数轴上的一个数，试讨论：x为有理数时，|x+1|+|x-2|是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）

-b＜a＜-a＜b；

（2）∵-a+1＞0，b-2＜0，a-b＜0，
∴|2（-a+1）|-|b-2|+2|a-b|，
=2（-a+1）-[-（b-2）]+2[-（a-b）]，
=-4a+3b；

（3）|x+1|+|x-2|存在最小值，最小值为3．
当x＜-1时，|x+1|+|x-2|=-x-1-x+2=-2x+1；
当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=x+1-x+2=3；
当x＞2时，|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1；
∴|x+1|+|x-2|存在最小值，最小值为3．
分析：（1）在数轴上标出-a、-b对应的点，比较直观的可以将a、b、-a、-b用“＜”连接起来；
（2）读数轴得出a、b的取值，从而确定-a+1＞0，b-2＜0，a-b＜0，根据绝对值的定义可求解；
（3）可分类讨论：当x＜-1，-1≤x≤2，x＞2时，化简原式取最小值．
点评：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．