Question

证明：
（1）如图1，△ABC中，AB=AC，延长BC至D，使CD=BC，点E在边AC上，以CE、CD为邻边作?CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G．连接BG、DE．
①∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由．
②求证：△BCG≌△DCE．
（2）如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
①试说明AC=EF；
②求证：四边形ADFE是平行四边形．

Answer 1

证明：（1）①∠ACB=∠GCD．
理由：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CG∥AB，
∴∠ABC=∠GCD，
∴∠ACB=∠GCD；

②∵四边形CDFE是平行四边形，
∴∠CEG=∠ACB，∠CGE=∠GCD，
∴∠CEG=∠CGE，
∴CE=CG，
∵∠ACB+∠ECG=∠ECG+∠GCD，
即∠BCG=∠ECD，
在△BCG和△DCE中，
∵，
∴△BCG≌△DCE（SAS）；

（2）①∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴∠AEF=30°
∴AE=2AF，且AB=2AF，
∴AF=CB，
而∠ACB=∠AFE=90°，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∵，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；

②由①知道AC=EF，
而△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°
∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，
而EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
分析：（1）①由AB=AC与CG∥AB，根据等边对等角与平行线的性质，易求得∠ACB=∠GCD；
②易证得CE=CD，∠BCG=∠ECD，然后由SAS证得：△BCG≌△DCE；
（2）①首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；
②根据①知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
点评：此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．