分析 (1)截取BG=BE,判断AE=GC,再判断出∠AEF=∠GCE,从而得到△AEF≌△GCE,即可;
(2)同(1)的方法得到△DMA≌△DMC判断出∠MFA=∠MAF,即MF=MA;
(3)先判断出四边形ABDH是平行四边形,再得出DM是△CFH的中位线,最后用勾股定理即可.
解答 解:(1)如图1,
在BC上截取BG=BE,连接EG,
∵BG=BE,∠EBG=90°,
∴∠BGE=45°,∠CGE=135°,
∵AB=BC,BG=BE,
∴AE=GC,
∵EF⊥EC,
∴∠AEF+∠BEC=90°,
∵∠GCE+∠BEC=90°,
∴∠AEF=∠GCE,
在△AEF和△GCE中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=GC}\\{∠AEF=∠GCE}\\{EF=EC}\end{array}\right.$,
∴△AEF≌△GCE,
∴∠EAF=∠CGE=135°,
(2)如图2,
连接AM,AC
同(1)的方法,得,△DMA≌△DMC,
∴MA=MC,
∴∠MAC=∠MCA,
∵∠FAC=∠FAE-∠CAB=90°,
∴∠MFA+∠MCA=90°,
∵∠MAF+∠MAC=90°,
∴∠MFA=∠MAF,
∴MF=MA,
∴MF=MA=MC,
∴M是CF的中点;
(3)如图3,
延长AF,CD交于H,
由(1)得,∠EAF=135°,
∴∠FAD=135°-90°=45°,
∵∠ADB=45°,
∴AH∥BD,
∵AB∥HD,
∴四边形ABDH是平行四边形,
∴DH=AB=CD,
∴D是CH中点,
∵M是CF中点,
∴DM是△CFH的中位线,
∴FH=2DM
在等腰Rt△HAD中,AH=$\sqrt{2}$AD,
∴AF+2DM=AF+FH=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$.
点评 此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,全等三角形的性质和判定,平行四边形的性质和判定,勾股定理,解本题的关键是构造全等三角形.
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