【题目】抛物线过点,顶点为M点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)试判断抛物线上是否存在一点P,使∠POM=90.若不存在,说明理由;若存在,求出P点的坐标;
(3)试判断抛物线上是否存在一点K,使∠OMK=90,说明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在.
【解析】
试题(1)将A(1,-3),B(3,-3),C(-1,5)三点坐标代入y=ax2+bx+c中,列方程组求a、b、c的值,得出抛物线解析式;
(2)抛物线上存在一点P,使∠POM=90.设(a,a2-4a),过P点作PE⊥y轴,垂足为E;过M点作MF⊥y轴,垂足为F,利用互余关系证明Rt△OEP∽Rt△MFO,利用相似比求a即可;
(3)抛物线上必存在一点K,使∠OMK=90.过顶点M作MN⊥OM,交y轴于点N,在Rt△OMN中,利用互余关系证明△OFM∽△MFN,利用相似比求N点坐标,再求直线MN解析式,将直线MN解析式与抛物线解析式联立,可求K点坐标.
(1)根据题意,得
解得
∴ 抛物线的解析式为.
(2)抛物线上存在一点P,使∠POM=90.
x=,.
∴ 顶点M的坐标为.
设抛物线上存在一点P,满足OP⊥OM,其坐标为.
过P点作PE⊥y轴,垂足为E;过M点作MF⊥y轴,垂足为F.
则 ∠POE+∠MOF=90,∠POE+∠EPO=90.
∴ ∠EPO=∠FOM.
∵ ∠OEP=∠MFO=90,
∴ Rt△OEP∽Rt△MFO.
∴ OE∶MF=EP∶OF.
即.
解,得(舍去),.
∴ P点的坐标为.
(3)
过顶点M作MN⊥OM,交y轴于点N.则 ∠FMN+∠OMF=90.
∵ ∠MOF+∠OMF=90,
∴ ∠MOF=∠FMN.
又∵ ∠OFM=∠MFN=90,
∴ △OFM∽△MFN.
∴ OF∶MF=MF∶FN. 即 4∶2=2∶FN.∴ FN=1.
∴ 点N的坐标为(0,-5).
设过点M,N的直线的解析式为.
解,得直线的解析式为.
∴把①代入②,得.
.
∴ 直线MN与抛物线有两个交点(其中一点为顶点M).
∴ 抛物线上必存在一点K,使∠OMK=90.
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【题目】如图,动点O从边长为6的等边△ABC的顶点A出发,沿着ACBA的路线匀速运动一周,速度为1个单位长度每秒,以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是点O出发后第______秒.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB⊙O的直径,∠ACB的平分线交⊙O于D,连接AD和BD,过点D作DP∥AB交CA的延长线于P.
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)当AC=6,BC=8时,求CD的长.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线与y轴交于点C(0,2),它的顶点为D(1,m),且.
(1)求m的值及抛物线的表达式;
(2)将此抛物线向上平移后与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,且OA=OB.若点A是由原抛物线上的点E平移所得,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下,点P是抛物线对称轴上的一点(位于x轴上方),且∠APB=45°.求P点的坐标.
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【题目】对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x].即当n为非负整数时,若n﹣≤x<n+,则[x]=n.如:[2.9]=3;[2.4]=2;……根据以上材料,解决下列问题:
(1)填空[1.8]= ,[]= ;
(2)若[2x+1]=4,则x的取值范围是 ;
(3)求满足[x]=x﹣1的所有非负实数x的值.
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【题目】(本题满分8分)“2015扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项:A、“半程马拉松”、B、“10公里”、C、“迷你马拉松”。小明和小刚参加了该项赛事的志愿者服务工作,组委会随机将志愿者分配到三个项目组
(1)小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为
(2)求小明和小刚被分配到不同项目组的概率
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【题目】把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起,使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠B=∠F=30°,斜边AB和EF长均为4.
(1)当 EG⊥AC于点K,GF⊥BC于点H时(如图①),求GH:GK的值.
(2) 现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转,旋转角α满足条件:0°<α<30°(如图②),EG交AC于点K ,GF交BC于点H,GH:GK的值是否改变?证明你发现的结论;
(3)三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转一周,是否存在某位置使△BFG是等腰三角形,若存在,请直接写出相应的旋转角α(精确到0.1°);若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,以OB为直径画圆M,过D作⊙M的切线,切点为N,分别交AC、BC于点E、F,已知AE=5,CE=3,则菱形ABCD的面积是( )
A. 24B. 20C. D.
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