Question

【题目】小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1 ， b1 ， c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2 ， b2 ， c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2 ， c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
求函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=﹣x2+3x﹣2可知，a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根据a1+a2=0，b1=b2 ， c1+c2=0，求出a2 ， b2 ， c2 ， 就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；
（2）若函数y=﹣x2+ mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2015的值；
（3）已知函数y=﹣ （x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1 ， B1 ， C1 ， 试证明经过点A1 ， B1 ， C1的二次函数与函数y=﹣ （x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．”

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，

∴﹣1+a2=0，b2=3，﹣2+c2=0，

∴a2=1，b2=3，c2=2，

∴函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”为y=x2+3x+2

（2）

解：根据题意得 m=﹣2n，﹣2+n=0，解得m=﹣3，n=2，

∴（m+n）2015=（﹣3+2）2015=﹣1

（3）

证明：当x=0时，y=﹣ （x+1）（x﹣4）=2，则C（0，2），

当y=0时，﹣ （x+1）（x﹣4）=0，解得x1=﹣1，x2=4，则A（﹣1，0），B（4，0），

∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，

∴A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2），

设经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=a2（x﹣1）（x+4），把C1（0，﹣2）代入得a2（﹣1）4=﹣2，解得a2= ，

∴经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y= （x﹣1）（x+4）= x2+ x﹣2，

而y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ x2+ x+2，

∴a1+a2=﹣ + =0，b1=b2= ，c1+c2=2﹣2=0，

∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣ （x+1）（x﹣4）互为“旋转函数

【解析】（1）根据“旋转函数”的定义求出a2 ， b2 ， c2 ， 从而得到原函数的“旋转函数”；（2）根据“旋转函数”的定义得到 m=﹣2n，﹣2+n=0，再解方程组求出m和n的值，然后根据乘方的意义计算；（3）先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2），则可利用交点式求出经过点A1 ， B1 ， C1的二次函数解析式为y= （x﹣1）（x+4）= x2+ x﹣2，再把y=﹣ （x+1）x﹣4）化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行判断．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和矩形的性质的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等才能正确解答此题．