Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，∠ADB=90°，E、F分别为边AB、CD的中点．

（1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）若BE=4，∠DEB=120°，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，则PF+PM的最小值为　 　，并在图上标出此时点P的位置．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及平行四边形的对边相等证明四边形DEBF的四边相等即可证得；

（2）连接EM，EM与BD的交点就是P，FF+PM的最小值就是EM的长，证明△BEF是等边三角形，利用三角函数求解．

（1）∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=90°．

∵△ABD中，∠ADB=90°，E时AB的中点，∴DE=AB=AE=BE．

同理，BF=DF．

∵平行四边形ABCD中，AB=CD，∴DE=BE=BF=DF，∴四边形DEBF是菱形；

（2）连接BF．

∵菱形DEBF中，∠DEB=120°，∴∠EFB=60°，∴△BEF是等边三角形．

∵M是BF的中点，∴EM⊥BF．

则EM=BEsin60°=4×=2．

即PF+PM的最小值是2．

故答案为：2．