Question

如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D在⊙O上运动．
（1）当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切；
（2）当直线CD与⊙O相切时，求CD所在直线对应的函数关系式；
（3）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）易得∠ODC=90°，且CD与圆相交于点D，故直线CD与⊙O相切；
（2）分两种情况，①D₁点在第二象限时，②D₂点在第四象限时，再根据相似三角形的性质，可得比例关系式，代入数据可得CD所在直线对应的函数关系；
（3）设D（x，y₀），有S=

1

2

BD²=

1

2

（26-10x）=13-5x；再根据x的范围可得面积的最大最小值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD⊥CD，
∵A、O、D在同一条直线上，
∴∠ODC=90°，
∴直线CD与⊙O相切．

（2）解：直线CD与⊙O相切分两种情况：
①如图1，设D₁点在第二象限时，
过D₁作D₁E₁⊥x轴于点E₁，设此时的正方形的边长为a，
∴（a-1）²+a²=5²，
∴a=4或a=-3（舍去），
∵Rt△BOA∽Rt△D₁OE₁
∴

OE1

OA

=

D1E1

BA

=

OD1

OB

，
∴OE1=

3

5

，D1E1=

4

5

，
∴D1(-

3

5

，

4

5

)．
∴直线OD的函数关系式为y=-

4

3

x．
∵AD₁⊥CD₁，
∴设直线CD₁的解析式为y=

3

4

x+b，
把D₁（-

3

5

，

4

5

）代入解析式得b=

5

4

；
∴函数解析式为y=

3

4

x+

5

4

．
②如图2，设D₂点在第四象限时，过D₂作D₂E₂⊥x轴于点E₂，
设此时的正方形的边长为b，则（b+1）²+b²=5²，
解得b=3或b=-4（舍去）．
∵Rt△BOA∽Rt△D₂OE₂，
∴

OE2

OA

=

D2E2

BA

=

OD2

OB

，
∴OE2=

4

5

，D2E2=

3

5

，
∴D2(

4

5

，-

3

5

)，
∴直线OD的函数关系式为y=-

3

4

x．
∵AD₂⊥CD₂，
∴设直线CD₂的解析式为y=

4

3

x+b，
把D₂（

4

5

，-

3

5

）代入解析式得b=-

5

3

；
∴函数解析式为y=

4

3

x-

5

3

．

（3）解：设D（x，y₀），
∴y0=±

1-x2

，
∵B（5，0），
∴BD²=（5-x）²+（1-x²）=26-10x，
∴S=

1

2

BD²=

1

2

（26-10x）=13-5x，
∵-1≤x≤1，
∴S_最大值=13+5=18，S_最小值=13-5=8．

点评：本题难度较大，要求学生有较强的综合分析能力及数形结合分析解决问题的能力．