Question

如图所示，已知正方形ABCD边长为4，点M、N分别在边BC、CD上（点M、N都不与点B、C、D重合），且AM⊥MN．
（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）求证：△AMN不可能是等腰直角三角形；
（3）探究：当BM取何值时，以A，M，N为顶点的三角形与△ABM相似？并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
而∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）证明：若△AMN是等腰直角三角形时，AM=MN．
∵由（1）知，Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴==1，
∴AB=MC，
∴点M与点B重合，点N与点C重合，这与已知条件“点M、N都不与点B、C、D重合”相矛盾，
∴△AMN不可能是等腰直角三角形；

（3）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须有=，即=，
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴=，
∴BM=MC，
∴当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，此时BM=2．
分析：（1）根据正方形的性质得∠B=∠C=90°，∠AMB+∠BAM=90°，又∠AMN=90°，则∠AMB+∠NMC=90°，得到∠BAM=∠NMC，根据相似三角形的判定即可得到结论；
（2）若△AMN是等腰直角三角形时，相似Rt△ABM与Rt△MCN的对应边不成比例；
（3）①已知了这两个三角形中相等的对应角是∠ABM和∠AMN，如果要想使Rt△ABM∽Rt△AMN，那么两组直角边就应该对应成比例，即AM：MN=AB：BM，根据（1）的相似三角形可得出
AM：MN=AB：MC，因此BM=MC，M是BC的中点．即BM=2．
②同理，当
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组内角分别对应相等的两三角形相似；相似三角形对应边的比相等．