Question

将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A=90°， AD边与AB边重合， AB＝2AD＝4．将△ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD的延长线交直线CE于点P.
（1）如图2，BD与CE的数量关系是        , 位置关系是         ；
（2）在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求出CP的长；
（3）在此旋转过程中，求点P运动的路线长.[

Answer 1

（1）BD=EC，BD⊥CE；（2）；（3）.

试题分析：（1）利用三角形中位线性质以及等腰直角三角形的性质得出即可.
（2）首先得出△ABD≌△ACE（SAS），进而求出四边形ADPE为正方形，即可得出CP的长.
（3）由（2）知，当α=60°时，∠PBA最大，且∠PBA=30°，此时∠AOP=60°，得出点P运动的路线是以O为圆心，OA长为半径的弧长，进而利用弧长公式求出即可．
试题解析：（1）BD=EC，BD⊥CE．理由如下：
∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A=90°， AD边与AB边重合， AB=2AD=4，
∴D，E分别是AB和AC的中点.
∴BD=EC=AD=AE，BD⊥CE.
（2）如图3所示：
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE.
∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴∠ABD=∠ACE.
∵∠1=∠2，∴BP⊥CE.
∵AD⊥BP，∠DAE=90°，AD=AE，∴四边形ADPE为正方形．∴AD=PE=2.
∵∠ADB=90°，AD=2，AB=4，∴∠ABD=30°.
∴BD=CE=.
∴CP=CE-PE=.

（3）如图4，取BC的中点O，连接OP、OA，
∵∠BPC=∠BAC=90°，∴OP=OA=BC=.
在此旋转过程中（0°≤α≤180°），由（2）知，当α=60°时，∠PBA最大，且∠PBA=30°，此时∠AOP=60°，
∴点P运动的路线是以O为圆心，OA长为半径的弧长.
∴点P运动的路线长为：