Question

如图，有半径为2

6

和2

10

的两个同心圆，矩形ABCD的边AB、CD分别为两圆的弦，当矩形的面积为最大时，它的周长等于（　　）

• A、22+6

  2

• B、20+8

  2

• C、18+10

  2

• D、16+12

  2

Answer 1

分析：连接OA，OD，作OP⊥AB，OM⊥AD，ON⊥CD，将此题转化成三角形的问题来解决，根据三角函数的定义可以证明三角形的面积等于相邻两边乘积乘以夹角的正弦值，根据这一公式分析面积的最大值的情况，然后熟练应用勾股定理，以及直角三角形斜边上的高等于两条直角边乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求其周长．

解答：解：连接OA，OD，作OP⊥AB，OM⊥AD，ON⊥CD，
根据矩形的面积和三角形的面积公式发现：矩形的面积为△AOD面积的4倍，
∵OA、OD的长是定值，∴当∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，
即∠AOD=90°，则AD=8，
根据三角形的面积公式得OM=3

2

，
即AB=6

2

，则矩形ABCD的周长是16+12

2

．
故选D．

点评：本题考查了垂径定理和矩形的性质，考生应注意熟练运用勾股定理，来求边长和周长．