Question

今年春季，由于缺乏市场指导，盲目种植及气候等因素影响，大量应季的南北蔬菜集中上市，致使某些蔬菜的收购价陡跌，北方不少地区的菜农因此陷入困境．以菜农王某所种油菜为例，从今年油菜开始上市，每周收购价y（元/千克）与上市时间x（周）的部分对应值如下表所示．而同时市场售价z（元/千克）与上市时间x（周）的关系如图所示．

x（周）	1	3	4	5
y（元/千克）	3.0	1.05	0.45	0.1

（1）请你从所学的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y与x以及z与x的变化规律，求出y与x以及z与x的函数关系式；
（2）试问这5周，哪一周油菜的市场售价与收购价的差距最大？求出这个最大差距；
（3）由于供远远大于求以及运输问题，尽管油菜收购价已低至0.1元/千克，不少菜农种植的油菜却仍然无人问津．商务部采取各种措施，发挥地方政府储备和商业储备的应急调节作用，务求帮助菜农解决“卖菜难”问题．从上市第6周开始逐见成效．以菜农王某为例，上市第5周时共售出2吨油菜，有1吨成熟的油菜因为没能售出而烂在地里．从第6周起，销售量比上周增加a%，且收购价也比上周上涨7a%．已知油菜的种植成本为1.2元/千克，假设每周成熟的油菜数量一样．这样一来，第6周的损失比第5周大约少了980元．请你参考以下数据，通过计算估算出a的值．（精确到十分位）
（参考数据：141²=19881，142²=20164，143²=20449，144²=20736，145²=21025）

Answer 1

分析：（1）首先判断出函数关系，再利用待定系数法求出一次函数和二次函数解析式，进而得出答案即可；
（2）根据差距=z-y得出关于x的函数解析式，进而利用公式法求出x=-

b

2a

时，得出此时差距最大；
（3）根据先求出第5周损失=2000×（1.2-0.1）+1000×1.2=3400，再由题意得出等式方程求出即可．

解答：解：（1）根据图表可得出y与x是二次函数关系，设解析式为：y=ax²+bx+c，
将（1，3.0），（3，1.05），（4，0.45）代入得：

a+b+c=3.0 9a+3b+c=1.05 16a+4b+c=0.45

，
解得：

a= 1 8 b=- 59 40 c= 87 20

故y与x的函数关系式为：y=

1

8

x2-

59

40

x+

87

20

，
根据图象可以得出z与x是一次函数关系，将（2，6），（5，3）代入z=kx+b得：

2k+b=6 5k+b=3

，
解得：

k=-1 b=8

故z与x的函数关系式为：z=-x+8；

（2）差距=z-y=-

1

8

x2+

19

40

x-

87

20

．
当x=-

b

2a

=-

19

40

÷[2×(-

1

8

)]=

19

10

时，有最大差距．
而周数x只能取整数，
故当x=2时，有最大差距为4.1元/千克；

（3）先求出第5周损失=2000×（1.2-0.1）+1000×1.2=3400，再由题意得
2000×（1+a%）[1.2-0.1（1+7a%）]+[3000-2000（1+a%）]×1.2=3400-980
令t=a%，整理得70t²+80t-49=0，
解得：t≈

-80±142

140

．
则t₁=

-80+142

140

≈0.4429，t₂=

-80-142

140

≈-1.5857（舍）．
故a≈44.3．

点评：此题主要考查了二次函数的应用和一元二次方程的应用，根据已知得出第5周损失进而表示出关于第6周损失的等式方程是解题关键．