Question

8．如图，在△ABC中，BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线，分别交于点D，P．
（1）若∠A=30°，求∠BDC，∠BPC的度数．
（2）若∠A=m°，求∠BDC，∠BPC的度数（直接写出结果，不必说明理由）
（3）想一想，∠A的大小变化，对∠D+∠P的值是否有影响，若有影响，请说明理由，若无影响，直接求出其值．

Answer 1

分析 （1）通过角的平行线的定义以及三角形的内角和可得出∠CBD+∠BCD=75°，再利用三角形的内角和为180°即可得出∠BDC的度数，同理可求出∠BPC的度数；
（2）根据（1）的求角过程将30换成m，即可得出结论；
（3）由（2）的结论，将两角相加即可得出结论．

解答 解：（1）∵BD，CD是内角平分线，
∴∠CBD+∠BCD=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=150°，
∴∠CBD+∠BCD=75°．
又∵∠BDC+∠CBD+∠BCD=180°，
∴∠BDC=105°．
∵∠CBE+∠BCF=360°-（∠ABC+∠ACB）=210°，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线，
∴∠CBP+∠BCP=$\frac{1}{2}$（∠CBE+∠BCF）=105°，
∵∠BPC+∠CBP+∠BCP=180°，
∴∠BPC=75°．
（2）根据（1）的求角过程可知：
∠BDC=90°+$\frac{m}{2}$°，∠BPC=90°-$\frac{m}{2}$°．
（3）∵∠D+∠P=90°+$\frac{m}{2}$°+90°-$\frac{m}{2}$°=180°为定值，
∴∠A的大小变化，对∠D+∠P的值无影响．

点评 本题考查了三角形外角性质、三角形内角和定义以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理是关键．