Question

【题目】如图①，已知抛物线y＝＋bx＋c与x轴交于点A、，与y轴交于点，直线经过B、C两点． 抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线和直线的解析式；

（2）判断△BCD的形状并说明理由．

（3）如图②，若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过E点作EF⊥x轴于点F，EF交线段BC于点G，当△ECG是直角三角形时，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1），；（2）是直角三角形；（3）或.

【解析】

（1）将点B、点C坐标代入y＝＋bx＋c可得抛物线解析式，设直线BC的解析式为，将点B、点C坐标代入可得直线解析式；

（2）根据抛物线解析式可得点D坐标，由两点间的距离公式求出BC、BD、CD长，可判断出△BCD的形状；

（3）设E点坐标为，当△ECG是直角三角形时，分①，此时，根据点E和点C纵坐标相同求解即可；②，即，根据直线EC和直线KC的k值乘积为-1，可确定直线EC的解析式，将点E代入求解即可.

解：（1）将点，点代入y＝＋bx＋c可得

，解得

设直线BC的解析式为，将点B、点C坐标代入得

，解得

所以抛物线的解析式为，直线的解析式为；

（2）是直角三角形.

是直角三角形；

（3）当△ECG是直角三角形时，设E点坐标为，

①如图，，此时，点E和点C纵坐标相同，

解得（舍去）或，

②如图，，即，

设直线EC的解析式为

由点可知，

将点E代入得，

解得（舍去）或，

；

综上所述，当△ECG是直角三角形时，点E的坐标为或.