Question

3．如图甲所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．BF与CE相交于点M
（1）求证：①△ACE≌△AFB；②EC⊥BF．
（2）如图乙连接EF，画出△ABC边BC上的高线AD，延长DA交EF于点N，其他条件不变，下列三个结论：
①∠EAN=∠ABC；
②△AEN≌△BAD；
③S_△AEF=S_△ABC；
④EN=FN．
正确的结论是①③④（把正确结论的序号全部填上）

Answer 1

分析 （1）先根据AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC判定△ACE≌△AFB（SAS）；再根据全等三角形的性质得出∠ACM=∠AFM，根据Rt△ACF中，∠AFM+∠MFC+∠ACF=90°，可得∠ACM+∠MFC+∠ACF=90°，即△MCF是直角三角形，进而得出结论；
（2）先作EH⊥AN，交AN于点H，FK⊥AN，交AN延长线于点K，构造三对全等三角形：△AEH≌△BAD，△AFK≌△ACD，△FKN≌△EHN，根据全等三角形的面积相等，即可得出S_△ABD=S_△EAH，S_△FKA=S_△ADC，S_△ENH=S_△FNK，根据S_△ABC=S_△ABD+S_△ADC=S_△AEH+S_△AFK=（S_△EAN-S_△ENH）+（S_△FNA+S_△FNK）=S_△EAN+S_△FNA=S_△AEF，即可得出结论③；最后根据△FKN≌△EHN，得出FN=EN即可．

解答 （1）证明：①∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAF=∠EAC，
在△ACE和△AFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠BAF=∠EAC}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△AFB（SAS）；
  ②∵△ACE≌△AFB，
∴∠ACM=∠AFM，
∵Rt△ACF中，∠AFM+∠MFC+∠ACF=90°，
∴∠ACM+∠MFC+∠ACF=90°，
即△MCF是直角三角形，
∴∠CMF=90°，即CE⊥BF；

（2）解：∵∠BAE=90°，AD⊥BD，
∴∠EAN+∠BAD=90°=∠ABC+∠BAD，
∴∠EAN=∠ABC，故①正确；
∵∠AEN与∠BAD不一定相等，
∴△AEN与△BAD不一定全等，故②错误；
作EH⊥AN，交AN于点H，FK⊥AN，交AN延长线于点K，
∴∠AEH+∠EAH=90°，
∵∠EAB=90°，
∴∠EAH+∠BAD=90°，
∴∠AEH=∠BAD，
在△AEH和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHE=∠ADB=90°}\\{∠AEH=∠BAD}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△BAD（AAS），
∴EH=AD，
同理可得：△AFK≌△ACD，
∴FK=AD，
∴FK=EH，
在△FKN和△EHN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FKN=∠EHN=90°}\\{∠FNK=∠ENH}\\{FK=EH}\end{array}\right.$，
∴△FKN≌△EHN（AAS），
∴S_△ABD=S_△EAH，S_△FKA=S_△ADC，S_△ENH=S_△FNK，
∴S_△ABC=S_△ABD+S_△ADC
=S_△AEH+S_△AFK
=（S_△EAN-S_△ENH）+（S_△FNA+S_△FNK）
=S_△EAN+S_△FNA
=S_△AEF，
即S_△ABC=S_△AEF，故③正确；
∵△FKN≌△EHN，
∴FN=EN，故④正确．
故答案为：①③④．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．解题时需要作辅助线构造三对全等三角形，注意全等三角形对应边相等，面积相等的灵活运用．