Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A、B两点与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．

（1）当a＝﹣1时，抛物线顶点D的坐标为　 　，OE＝　 　；

（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；

（3）设∠DEO＝β，当β从30°增加到60°的过程中，点D运动的路径长；

（4）以DE为斜边，在直线DE的右上方作等腰Rt△PDE．设P（m，n），请直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，4），3（2）OE的长与a值无关（3）（4）n＝m+1（m＞﹣1）

【解析】

（1）求出直线CD的解析式即可解决问题；

（2）利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；

（3）求出落在特殊情形下的a的值即可点D运动的路径长；

（4）如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．两条全等三角形的性质即可解决问题．

（1）当a＝﹣1时，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，

∴顶点D（﹣1，4），C（0，3），

∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3，

∴E（3，0），

∴OE＝3，

故答案为：（﹣1，4），3；

（2）结论：OE的长与a值无关．

理由：∵y＝ax2+2ax﹣3a，

∴C（0，﹣3a），D（﹣1，﹣4a），

∴直线CD的解析式为y＝ax﹣3a，

当y＝0时，x＝3，

∴E（3，0），

∴OE＝3，

∴OE的长与a值无关．

（3）如图，

当β＝30°时，OC＝OE＝，

∴﹣3a＝，

∴a＝﹣，此时点D′的坐标是（﹣1，）．

当β＝60°时，在Rt△OCE中，OC＝OE＝3，

∴﹣3a＝3，

∴a＝﹣，此时点D的坐标是（﹣1，4）．

∴点D运动的路径长为：4﹣＝；

（4）如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥x轴于N．

∵PD＝PE，∠PMD＝∠PNE＝90°，∠DPE＝∠MPN＝90°，

∴∠DPM＝∠EPN，

∴△DPM≌△EPN（AAS），

∴PM＝PN，DM＝EN，

∵D（﹣1，﹣4a），E（3，0），

∴由PM＝PN得到：n＝m+1．

由DM＝EN得到：m﹣3＝﹣4a﹣n．

当顶点D在x轴上时，P（1，2），此时m的值1，

∵抛物线的顶点在第二象限，

∴m＞﹣1．

∴n＝m+1（m＞﹣1）．