Question

已知点A、B分别在反比例函数y=

2

x

（x＞0），y=-

8

x

（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanB为

1

2

．

Answer 1

分析：过A作AC垂直于y轴，过B作BD垂直于y轴，利用垂直的定义可得出一对直角相等，再由OA与OB垂直，利用平角的定义得到一对角互余，在直角三角形AOC中，两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形AOC与三角形OBD相似，利用反比例函数k的几何意义求出两三角形的面积，得出面积比，利用面积比等于相似比的平方求出相似比，即为OA与OB的比值，在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义即可求出tan∠ABO的值．

解答：解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∵点A、B分别在反比例函数y=

2

x

（x＞0），y=-

8

x

（x＞0）的图象上，
∴S_△AOC=1，S_△OBD=4，
∴S_△AOC：S_△OBD=1：4，即OA：OB=1：2，
则在Rt△AOB中，tan∠ABO=

1

2

．
故答案为：

1

2

点评：此题属于反比例综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．