Question

20．在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=4．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，E是OC上的一点．
（1）如图1，当点E是OC的中点时，求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，点F是BC上的一点，将四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，求OE的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明四边形ABCE是平行四边形，只要证明CE=AB，CE∥AB即可．
（2）设OE=x，在RT△EOA中，根据OE²+OA²=AE²列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1，∵△OBC为等边三角形，
∴OC=OB，∠COB=60°．，
∵点E是OC的中点，
∴EC=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OB，
在△OAB中，∠OAB=90°，
∵∠AOB=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$OB，∠COA=90°，
∴CE=AB，∠COA+∠OAB=180°，
∴CE∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形．
（2）解：如图2，∵四边形ABCO折叠，点C与点A重合，折痕为EF，
∴△CEF≌△AEF，
∴EC=EA，
∵OB=4，
∴OC=BC=4，
在△OAB中，∠OAB=90°，
∵∠AOB=30°，
∴OA=$2\sqrt{3}$，
在Rt△OAE中，由（1）知：∠EOA=90°，
设OE=x，
∵OE²+OA²=AE²，
∴x²+${（{2\sqrt{3}}）^2}$=（4-x）²，
解得，x=$\frac{1}{2}$，
∴OE=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查平行四边形的判定、等边三角形的性质、翻折变换等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．