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10.如图,等边△ABC的边长为2,以BC边上的高AB1为边作等边△AB1C1,B1C1交AC于点B2,△AB1B2的面积记做S1;再以AB2为边作等边△AB2C2,B2C2交AC1于点B3,△AB2B3的面积记做S2;…,以此类推,则Sn=$\frac{\sqrt{3}}{2}×(\frac{3}{4})^{n}$..

分析 由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高,利用三线合一得到B1为BC的中点,求出BB1的长,利用勾股定理求出AB1的长,进而求出第一个等边三角形AB1C1的面积,同理求出第二个等边三角形AB2C2的面积,依此类推,得到第n个等边三角形ABnCn的面积.

解答 解:∵等边三角形ABC的边长为2,AB1⊥BC,
∴BB1=1,AB=2,
根据勾股定理得:AB1=$\sqrt{3}$,
∴第一个等边三角形AB1C1的面积为:${S}_{1}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×(\sqrt{3})^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}×(\frac{3}{4})^{1}$;
∵等边三角形AB1C1的边长为 $\sqrt{3}$,AB2⊥B1C1
∴B1B2=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,AB1=$\sqrt{3}$,
根据勾股定理得:AB2=$\frac{3}{2}$,
∴第二个等边三角形AB2C2的面积为${S}_{2}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×(\frac{3}{2})^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}×(\frac{3}{4})^{2}$;
依此类推,第n个等边三角形ABnCn的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}×(\frac{3}{4})^{n}$.
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{2}×(\frac{3}{4})^{n}$.

点评 此题考查了等边三角形的性质,属于规律型试题,熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键.

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