Question

如图，以Rt△ABC的边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，点F为BC上一点，AF交⊙O于点E，且∠C=∠BAF．
（1）求证：DE∥AB；
（2）若⊙O的半径为5，AE=2AD，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：如图1，连DB，
∵AB为直径，
∴DB⊥AC，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠C=∠ABD=∠DEA，
又∵∠C=∠BAF，
∴∠BAF=∠DEA，
∴DE∥AB；

（2）连BE，
∵DE∥AB，
∴∠BAE=∠AED，
∴AD=BE，
在Rt△ABD与Rt△BAE中，
∵

AB=BA AD=BE

，
∴Rt△ABD≌Rt△BAE（HL），
∴BD=AE=2AD，
设AD=x，则BD=2x，
在Rt△ABD中，x²+（2x）²=10²，
∴AD=2

5

，BD=4

5

过D作DM⊥AB，过O作ON⊥ED，
∴

1

2

AD•BD=

1

2

AB•DM，
∴DM=

AD•BD

AB

=

2 5 •4 5

10

=4=ON，
连OD，在Rt△OND中，
∵DN=

OD2-ON2

=

52-42

=3，
∴ED=2DN=6．