Question

18．如果抛物线C₁的顶点在抛物线C₂上，并且抛物线C₂的顶点也在抛物线C₁上，那么，我们称抛物线C₁与C₂关联．
（1）已知抛物线①y=x²+2x-7，抛物线②y=-（x-2）²+1，判断这两条抛物线是否关联，说明理由；
（2）把抛物线L：y=（x+1）²-2绕顶点旋转180°得到抛物线M，把抛物线M先向上平移4个单位，再左右平移若干个单位得抛物线Q，若抛物线L与Q关联，请直接写出抛物线M的解析式并求出抛物线Q的解析式；
（3）善于思考的小颖同学提出一个猜想：“如果顶点不同的两条抛物线C₁与C₂关联，那么它们的解析式中的二次项系数一定是互为相反数．”你认为小颖同学的猜想正确吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求得抛物线①的顶点坐标，然后检验是否此点在抛物线②与③上，再求得抛物线②的顶点坐标，检验是否在抛物线①上，即可求得答案；
（2）分两种情形①把抛物线M先向上平移4个单位，再左平移a（a＞0）个单位得抛物线Q：y=-（x+1+a）²+2，②把抛物线M先向上平移4个单位，再右平移b（b＞0）个单位得抛物线Q：y=-（x+1-b）²+2，分别利用待定系数法即可解决问题．
（3）设两条抛物线C₁：y=a₁（x-m）²+n与C₂：y=a₂（x-p）²+q关联，则有$\left\{\begin{array}{l}{q={a}_{1}（p-m）^{2}+n}\\{n={a}_{2}（m-p）^{2}+q}\end{array}\right.$，①+②得（a₁+a₂）（m-p）²=0，即可求得a₁+a₂=0．

解答 解：（1）∵①抛物线y=x²+2x-7=（x+1）²-8的顶点坐标为M（-1，-8），
∴对于抛物线②，当x=-1时，y=-x²+4x-3=-1-4-3=-8，
∴点M在抛物线②上；
∵抛物线②y=-（x-2）²+1，其顶点坐标为（2，1），
对于抛物线①，x=2时，y=1，
∴（2，1）在抛物线①上，
∴抛物线①、②是关联的；

（2）抛物线M为：y=-（x+1）²-2，
①把抛物线M先向上平移4个单位，再左平移a（a＞0）个单位得抛物线Q：y=-（x+1+a）²+2，
把抛物线L：y=（x+1）²-2的顶点（-1，-2）代入抛物线Q得到，-2=-a²+2，
∴a=±2，
∵a＞0，
∴a=2，
②把抛物线M先向上平移4个单位，再右平移b（b＞0）个单位得抛物线Q：y=-（x+1-b）²+2，
把抛物线L：y=（x+1）²-2的顶点（-1，-2）代入抛物线Q得到，-2=-b²+2，
∴b=±2，
∵b＞0，
∴b=2，
∴抛物线Q的解析式为y=-（x+3）²+2或y=-（x-1）²+2．

（3）（3）小颖同学的猜想正确，
理由：∵顶点不同的两条抛物线C₁：y=a₁（x-m）²+n与C₂：y=a₂（x-p）²+q关联，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{q={a}_{1}（p-m）^{2}+n}\\{n={a}_{2}（m-p）^{2}+q}\end{array}\right.$，
①+②得（a₁+a₂）（m-p）²=0，
∴m≠p，
∴a₁+a₂=0，
∴解析式中的二次项系数一定是互为相反数．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法，全等三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．