【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C作△ABC外接圆⊙O的切线交AB的垂直平分线于点D,AB的垂直平分线交AC于点E.若OE=2,AB=8,则CD=_____.
【答案】3.
【解析】
连接OC,根据切线的性质得到∠OCD=90°,根据余角的性质得到∠AEO=∠B,得到DE=DC,设DE=DC=x,求得OD=2+x,根据勾股定理列方程即可得到结论.
解:连接OC,
∵CD是⊙O的切线,
∴∠OCD=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠DCE=∠COB,
∵OD⊥AB,
∴∠AOE=90°,
∴∠A+∠B=∠A+∠AEO=90°,
∴∠AEO=∠B,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠B,
∵∠DEC=∠AEO,
∴∠DEC=∠DCE,
∴DE=DC,
设DE=DC=x,
∴OD=2+x,
∵OD2=OC2+CD2,
∴(2+x)2=42+x2,
解得:x=3,
∴CD=3,
故答案为:3.
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【题目】如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF,
(1)求证:AE=CF;
(2)若AB=3,∠AOD=120°,求矩形ABCD的面积.
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【题目】如图1,已知抛物线C1:与x轴的正半轴交于点A,点B为抛物线的顶点,直线l:是一条动直线.
(1)求点A、点B的坐标;
(2)当直线l经过点A时,求出直线l的解析式,并直接写出此时当时,自变量x的取值范围;
(3)如图2,将抛物线C1在x轴上方的部分沿x轴翻折,与C1在x轴下方的图形组合成一个新的图形C2,当直线l与组合图形C2有且只有两个交点时,直接写出k的取值范围.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,M、N分别是射线CB和射线DC上的动点,且始终∠MAN=45°.
(1)如图1,当点M、N分别在线段BC、DC上时,请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系;
(2)如图2,当点M、N分别在CB、DC的延长线上时,(1)中的结论是否仍然成立,若成立,给予证明,若不成立,写出正确的结论,并证明;
(3)如图3,当点M、N分别在CB、DC的延长线上时,若CN=CD=6,设BD与AM的延长线交于点P,交AN于Q,直接写出AQ、AP的长.
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【题目】如图所示,在边长为4正方形OABC中,OB为对角线,过点O作OB的垂线.以点O为圆心,r为半径作圆,过点C做⊙O的两条切线分别交OB垂线、BO延长线于点D、E,CD、CE分别切⊙O于点P、Q,连接AE.
(1)请先在一个等腰直角三角形内探究tan22.5°的值;
(2)求证:
①DO=OE;
②AE=CD,且AE⊥CD.
(3)当OA=OD时:
①求∠AEC的度数;
②求r的值.
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【题目】如图,⊙O的直径AB=10,弦BC=,点P是⊙O上的一动点(不与点A、B重合,且与点C分别位于直径AB的异侧),连接PA,PC,过点C作PC的垂线交PB的延长线于点D.
(1)求tan∠BPC的值;
(2)随着点P的运动,的值是否会发生变化?若变化,请说明理由,若不变,则求出它的值;
(3)运动过程中,AP+2BP的最大值是多少?请你直接写出它来.
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【题目】如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AB边上一点,过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.
(1)求证:△BDE≌△CDF.
(2)当AD⊥BC,AE=2,CF=4时,求AC的长.
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【题目】为发展学生的数学核心素养,培养学生的综合能力,某市开展了初三学生的数学学业水平测试.在这次测试中,从甲、乙两校各随机抽取了30名学生的测试成绩进行调查分析.(说明:成绩80分及以上为优秀,60~79分为合格,60分以下为不合格)
收集数据:
整理、描述数据:
分析数据:
(1)请你补全表格;
(2)若甲校有300名学生参加测试,请估计甲校此次测试的优秀人数约为多少;
(3)利用表2的数据,请你对甲乙两所学校的测试成绩进行评价.
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【题目】如图,点A(,4),B(3,m)是直线AB与反比例函数(x>0)图象的两个交点.AC⊥x轴,垂足为点C,已知D(0,1),连接AD,BD,BC.
(1)求直线AB的表达式;
(2)△ABC和△ABD的面积分别为S1,S2,求S2-S1.
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