Question

18．已知A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是$\widehat{AB}$的中点．
（Ⅰ）如图①，求∠A的度数；
（Ⅱ）如图②，延长OA到点D，使OA=AD，连接DC，延长OB交DC的延长线于点E，若⊙O的半径为1，求DE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OC，由∠AOB=120°，C是$\widehat{AB}$的中点，易得△AOC是等边三角形，继而求得∠A的度数；
（Ⅱ）由OA=AD，易得△ODE是等腰三角形，OC⊥DE，继而求得答案．

解答 解：（Ⅰ）在图①中连接OC，如图所示．
∵∠AOB=120°，C是$\widehat{AB}$的中点，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
∵OA=OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠A=60°；
（Ⅱ）∵△OAC是等边三角形，
∴OA=AC=AD，
∴∠D=30°，
∵∠AOB=120°，
∴∠D=∠E=30°，
∴OC⊥DE，
∵⊙O的半径为1，
∴CD=CE=$\sqrt{3}$OC=$\sqrt{3}$，
∴DE=2CD=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数的应用．注意准确作出辅助线是解此题的关键．