Question

（2013•平谷区一模）（1）如图（1），△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，连接AE、CD相交于点P．请你补全图形，并直接写出∠APD的度数；

60°

（2）如图（2），Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，且AM=BC，BM=CN，连接AN、CM相交于点P．请你猜想∠APM=

45

°，并写出你的推理过程．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形性质得出∠B=∠ACE=60°，AC=BC，证△ACE≌△CDB，推出∠BCD=∠CAE，根据三角形外角性质求出即可；
（2）过A作AK⊥AB的垂线，在其上截取AK=CN=MB，连KM，KC，证△KAM≌△MBC，推出KM=MC，求出∠KMC=90°，推出四边形AKCN是平行四边形，推出KC∥AN，根据平行线性质求出即可．

解答：（1）解：
∵△ABC是等边三角形，
∴△B=∠ACE=60°，AC=BC，
在△AEC和△CDB中，

AC=BC ∠ACE=∠B CE=BD

，
∴△ACE≌△CDB（ASA），
∴∠BCD=∠CAE，
∴∠APD=∠CAE+∠ACD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，
故答案为：60°．

（2）解：过A作AK⊥AB的垂线，在其上截取AK=CN=MB，连KM，KC，
则∠KAM=∠MBC=90°，
∵在△KAM和△MBC中

AM=BC ∠KAM=∠MBC AK=BM

∴△KAM≌△MBC（SAS），
∴KM=CM，∠AMK=∠MCB，
∵∠CMB+∠MCB=90°，
∴∠CMB+∠AMK=90°
∴∠KMC=90°，
∴△KMC为等腰直角三角形，
∴∠MCK=45°，
又∵∠KAM=∠B=90°，AK=CN，
∴AK∥CN，
∴四边形ANCK是平行四边形，
∴KC∥AN，
∴∠APM=∠KCM=45°，
故答案为：45．

点评：本题考查了全等三角形性质和判定，平行线性质，平行四边形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．