Question

如图所示是二次函数y=-x²+4x图象上的一段，其中0≤x≤4、若矩形ABCD的两个顶点A，B落在x轴上，另外两个顶点C，D落在函数图象上，则矩形ABCD的周长能否恰好为8？若能，请求出C，D两点坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：假设能，故可设周长恰好是8，令点A的横坐标为x，则由y=-x²+4x可得顶点横坐标为-

4

2×(-1)

=2，
故点B的横坐标为2+（2-x）=4-x，AB=4-x-x=4-2x；
D点纵坐标为-x²+4x，C点纵坐标为-（4-x）²+4（4-x），
则有-x²+4x+（4-2x）=

1

2

×8，解之得：x=0或2；则可推理得到结论：构不成矩形．问题可求．

解答：解：假设周长恰好是8，设点A的横坐标为x，
∵y=-x²+4x，
∴顶点横坐标为-

4

2×(-1)

=2，
∴点B的横坐标为2+（2-x）=4-x，
∴AB=4-x-x=4-2x；
∴D点纵坐标为-x²+4x，
即AD=-x²+4x；
∴AD+AB=-x²+4x+（4-2x）=

1

2

×8，
∴x=0或2；
∴当x=0时，-x²+4x=0，D和C点纵坐标为0，构不成矩形．
∴当x=2时，-x²+4x=4，只有一个最高点存在，同样构不成矩形，
综合可知，与能构成矩形矛盾，故不存在．

点评：此类问题的解答，可以用反证法去说明．假设结论成立或假设存在，据条件进行合理的推导，进而将问题解决．