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先阅读并完成第(1)题,再利用其结论解决第(2)题.
(1)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为x1,x2,则有x1+x2=-,x1•x2=.这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的,故把它称为“韦达定理”.利用此定理,可以不解方程就得出x1+x2和 x1•x2的值,进而求出相关的代数式的值.
请你证明这个定理.
(2)对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程x2-(n+2)x-2n2=0的两个根记作an,bn(n≥2),
请求出+…的值.
【答案】分析:(1)首先利用求根公式x=求得该方程的两个实数根,然后再来求得x1+x2=-,x1•x2=
(2)由根与系数的关系得an+bn=n+2,an•bn=-2n2,所以(an-2)(bn-2)=anbn-2(an+bn)+4=-2n2-2(n+2)+4=-2n(n+1),
=--),然后代入即可求解.
解答:解:(1)根据求根公式x=知,
x1=,x2=
故有x1+x2=+=-,x1•x2=×=

(2)∵根与系数的关系知,an+bn=n+2,an•bn=-2n2
∴(an-2)(bn-2)=anbn-2(an+bn)+4=-2n2-2(n+2)+4=-2n(n+1),
=--),
+…
=-[(-)+(-)+…+(-)]
=-×(-
=-
点评:本题考查了根与系数的关系.在证明韦达定理时,借用了求根公式x=
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

80、阅读材料并完成填空:
你能比较两个数20012002和20022001的大小吗?
为了解决这个问题,先把问题一般化,即比较nn+1和(n+1)n的大小(n≥1,且n∈Z)然后,从分析n=1,2,3这些简单情形入手,从中发现规律,经过归纳,猜想出结论:
(1)通过计算,比较下列①~④各组中两个数的大小①12
21;②23
32;③34
43;④45
54
(2)从第①小题的结果经过归纳,可以猜想nn+1和(n+1)n的大小关系是
n≤2时,nn+1<(n+1)n,n>2时,nn+1>(n+1)n

(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论,可以得到20012002
20022001(填>,=,<)

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

(2013•武汉模拟)先阅读并完成第(1)题,再利用其结论解决第(2)题.
(1)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为x1,x2,则有x1+x2=-
b
a
,x1•x2=
c
a
.这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的,故把它称为“韦达定理”.利用此定理,可以不解方程就得出x1+x2和 x1•x2的值,进而求出相关的代数式的值.
请你证明这个定理.
(2)对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程x2-(n+2)x-2n2=0的两个根记作an,bn(n≥2),
请求出
1
(a2-2)(b2-2)
+
1
(a3-2)(b3-2)
+…+
1
(a2011-2)(b2011-2)
的值.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

先阅读并完成第(1)题,再利用其结论解决第(2)题.
(1)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为x1,x2,则有x1+x2=-数学公式,x1•x2=数学公式.这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的,故把它称为“韦达定理”.利用此定理,可以不解方程就得出x1+x2和 x1•x2的值,进而求出相关的代数式的值.
请你证明这个定理.
(2)对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程x2-(n+2)x-2n2=0的两个根记作an,bn(n≥2),
请求出数学公式数学公式+…数学公式的值.

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科目:初中数学 来源:2012年高中提前招生考试数学模拟试卷(二)(解析版) 题型:解答题

先阅读并完成第(1)题,再利用其结论解决第(2)题.
(1)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为x1,x2,则有x1+x2=-,x1•x2=.这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的,故把它称为“韦达定理”.利用此定理,可以不解方程就得出x1+x2和 x1•x2的值,进而求出相关的代数式的值.
请你证明这个定理.
(2)对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程x2-(n+2)x-2n2=0的两个根记作an,bn(n≥2),
请求出+…的值.

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