Question

先阅读并完成第（1）题，再利用其结论解决第（2）题．
（1）已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-，x₁•x₂=．这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定理”．利用此定理，可以不解方程就得出x₁+x₂和 x₁•x₂的值，进而求出相关的代数式的值．
请你证明这个定理．
（2）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x²-（n+2）x-2n²=0的两个根记作a_n，b_n（n≥2），
请求出+…的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先利用求根公式x=求得该方程的两个实数根，然后再来求得x₁+x₂=-，x₁•x₂=；
（2）由根与系数的关系得a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，所以（a_n-2）（b_n-2）=a_nb_n-2（a_n+b_n）+4=-2n²-2（n+2）+4=-2n（n+1），
则=-（-），然后代入即可求解．
解答：解：（1）根据求根公式x=知，
x₁=，x₂=，
故有x₁+x₂=+=-，x₁•x₂=×=；

（2）∵根与系数的关系知，a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，
∴（a_n-2）（b_n-2）=a_nb_n-2（a_n+b_n）+4=-2n²-2（n+2）+4=-2n（n+1），
∴=-（-），
∴+…
=-[（-）+（-）+…+（-）]
=-×（-）
=-．
点评：本题考查了根与系数的关系．在证明韦达定理时，借用了求根公式x=．