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4.如图,?ABCD中,AB=2BC,点A,B为双曲线y=$\frac{12}{x}$在第一象限上的两个点,点C、D在坐标轴上.
(1)若点A的横坐标为x,点B的横坐标为y,求y关于x的函数关系式;
(2)若?ABCD为矩形,求点A的坐标.

分析 (1)如图1,根据反比例函数的关系式设出A、B两点的坐标,根据平行四边形的性质及三角形全等写出点C和D的坐标,由AB=2BC和勾股定理列等式,可求出y关于x的函数关系式;
(2)如图2,利用(1)的结论,因为?ABCD为矩形,可证得△DOC∽△CEB,并知道相似比为2,列方程组,解出即可,并取舍,写出点A的坐标.

解答 解:(1)如图1,过B作BE⊥x轴于E,
由题意得:A(x,$\frac{12}{x}$),B(y,$\frac{12}{y}$),
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC,
∴C(y-x,0),D(0,$\frac{12}{x}$-$\frac{12}{y}$),
由勾股定理得:DC2=(y-x)2+($\frac{12}{x}-\frac{12}{y}$)2
BC2=x2+$(\frac{12}{y})^{2}$,
∵AB=2BC,AB=CD,
∴AB2=4BC2
∴(y-x)2+($\frac{12}{x}-\frac{12}{y}$)2=4[x2+$(\frac{12}{y})^{2}$],
∴(x2y2+122)(y-3x)(y+x)=0,
∵x>0,y>0,
∴y-3x=0,
∴y关于x的函数关系式为:y=3x;
(2)如图2,过B作BE⊥x轴于E,
由(1)得:OC=y-x,OD=$\frac{12}{x}-\frac{12}{y}$,CE=x,BE=$\frac{12}{y}$,
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠DCB=90°,
∴△DOC∽△CEB,
∵DC=2BC,
∴相似比为2,
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{12}{x}-\frac{12}{y}=2x}\\{y-x=2×\frac{12}{y}}\end{array}\right.$      且x>0,y>0,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$,
当x=2$\sqrt{3}$,y=2$\sqrt{3}$时,A、B重合,不能构成矩形,不符合题意,舍去,
∴A(2,6).

点评 本题是反比例函数、平行四边形、矩形的综合题,考查了反比例函数图象上点的坐标特点及平行四边形、矩形的性质;计算量较大;本题的关键是利用AB=2BC列式计算.

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