Question

3．如图，直线y=-$\frac{4}{3}$x+8分别交x轴、y轴于A，B两点．线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C，D两点．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线CE的解析式；
（3）求△BCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由直线y=-$\frac{4}{3}$x+8，分别交x轴、y轴于A、B两点，即可求得点A与B的坐标，即可得OA，OB，由勾股定理即可求得AB的长，由CD是线段AB的垂直平分线，可求得AE与BE的长，易证得△AOB∽△AEC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AC的长，继而求得点C的坐标；
（2）根据已知条件得到A（6，0），B（0，8），由E是AB的中点，得到E（3，4），解方程组即可得到结论；
（3）易证得△AOB∽△DEB，由相似三角形的对应边成比例，即可求得BD的长，又由S_△BCD=$\frac{1}{2}$BD•OC，即可求得△BCD的面积．

解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{4}{3}$x+8，分别交x轴、y轴于A、B两点，
当x=0时，y=8；当y=0时，x=6．
∴OA=6，OB=8．
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE=5．
∵∠OAB=∠CAE，∠AOB=∠AEC=90°，
∴△AOB∽△AEC，
∴$\frac{OA}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$，
即$\frac{6}{5}$=$\frac{10}{AC}$，
∴AC=$\frac{25}{3}$．
∴OC=AC-OA=$\frac{7}{3}$，
∴点C的坐标为（-$\frac{7}{3}$，0）；

（2）∵直线y=-$\frac{4}{3}$x+8分别交x轴、y轴于A，B两点，
∴A（6，0），B（0，8），
∵E是AB的中点，
∴E（3，4），
设直线CE的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{7}{3}k+b}\\{4=3k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线CE的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{4}$；

（3）∵∠ABO=∠DBE，∠AOB=∠BED=90°，
∴△AOB∽△DEB，
∴$\frac{OB}{BE}$=$\frac{AB}{BD}$，
即$\frac{8}{5}$=$\frac{10}{BD}$，
∴BD=$\frac{25}{4}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$BD•OC=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$×$\frac{7}{3}$=$\frac{175}{24}$．

点评 此题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质、点与一次函数的性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．