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15.(1)如图1,△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD.若AC=2,BC=1,则△BCD的周长为;
(2)O是正方形ABCD的中心,E为CD边上一点,F为AD边上一点,且△EDF的周长等于AD的长.
①在图2中作出△EDF,有适当的文字说明,并求出∠EOF的度数;
②若$\frac{OF}{OE}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,求$\frac{AF}{CE}$的值.

分析 (1)由线段垂直平分线的性质得出BD=AD,得出△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AC,即可得出结果;
(2)①连接OA、OD、OH,由正方形的性质得出∠1=∠2=45°,由SAS证明△ODE≌△OAH,得出∠DOE=∠AOH,OE=OH,得出∠EOH=90°,证出EF=HF,由SSS证明△EOF≌△HOF,得出∠EOF=∠HOF=45°即可;
②连接OC,根据相似三角形的性质即可得到结论.

解答 解:(1)∵AB的垂直平分线交AC于点D,
∴BD=AD,
∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AC=1+2=3,
故答案为:3; 
(2)①如图1所示:△EDF即为所求; 
如图2所示:AH=DE,
连接OA、OD、OH,
∵点O为正方形ABCD的中心,
∴OA=OD,∠AOD=90°,∠1=∠2=45°,
在△ODE和△OAH中,$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠2=∠1}\\{AH=DE}\end{array}\right.$,
∴△ODE≌△OAH(SAS),
∴∠DOE=∠AOH,OE=OH,
∴∠EOH=90°,
∵△EDF的周长等于AD的长,
∴EF=HF,
在△EOF和△HOF中,$\left\{\begin{array}{l}{OE=OH}\\{OF=OF}\\{EF=HF}\end{array}\right.$,
∴△EOF≌△HOF(SSS),
∴∠EOF=∠HOF=45°;
②连接OC,
∵∠ECO=∠EOF=∠OAF=45°,∠EOC=∠AFO,
∴△COE∽△AFO,
∴$\frac{AF}{CO}=\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{CE}$,
∴$\frac{AF}{CO}•\frac{OA}{CE}$=$\frac{OF}{OE}•$$\frac{OF}{OE}$
∴$\frac{AF}{CE}$=${(\frac{OF}{OE})^2}={(\frac{{2\sqrt{2}}}{3})^2}$=$\frac{8}{9}$.

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、解方程等知识;本题综合性强,有一定难度,熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.

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