Question

15．（1）如图1，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC=2，BC=1，则△BCD的周长为；
（2）O是正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF的周长等于AD的长．
①在图2中作出△EDF，有适当的文字说明，并求出∠EOF的度数；
②若$\frac{OF}{OE}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求$\frac{AF}{CE}$的值．

Answer 1

分析 （1）由线段垂直平分线的性质得出BD=AD，得出△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AC，即可得出结果；
（2）①连接OA、OD、OH，由正方形的性质得出∠1=∠2=45°，由SAS证明△ODE≌△OAH，得出∠DOE=∠AOH，OE=OH，得出∠EOH=90°，证出EF=HF，由SSS证明△EOF≌△HOF，得出∠EOF=∠HOF=45°即可；
②连接OC，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于点D，
∴BD=AD，
∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AC=1+2=3，
故答案为：3； 
（2）①如图1所示：△EDF即为所求； 
如图2所示：AH=DE，
连接OA、OD、OH，
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴OA=OD，∠AOD=90°，∠1=∠2=45°，
在△ODE和△OAH中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠2=∠1}\\{AH=DE}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△OAH（SAS），
∴∠DOE=∠AOH，OE=OH，
∴∠EOH=90°，
∵△EDF的周长等于AD的长，
∴EF=HF，
在△EOF和△HOF中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=OH}\\{OF=OF}\\{EF=HF}\end{array}\right.$，
∴△EOF≌△HOF（SSS），
∴∠EOF=∠HOF=45°；
②连接OC，
∵∠ECO=∠EOF=∠OAF=45°，∠EOC=∠AFO，
∴△COE∽△AFO，
∴$\frac{AF}{CO}=\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{CE}$，
∴$\frac{AF}{CO}•\frac{OA}{CE}$=$\frac{OF}{OE}•$$\frac{OF}{OE}$
∴$\frac{AF}{CE}$=${（\frac{OF}{OE}）^2}={（\frac{{2\sqrt{2}}}{3}）^2}$=$\frac{8}{9}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．