Question

2．如图1，△ABC的边BC的中垂线DM交∠BAC的平分线AD于D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于F．连接DB、DC．
（1）求证：△DBE≌△DFC．
（2）求证：AB+AC=2AE；
（3）如图2，若△ABC的边BC的中垂线DM交∠BAC的外角平分线AD于D，DE⊥AB于点E，且AB＞AC，写出AE、BE、AC之间的等量关系．（不需证明，只需在图2中作出辅助线、说明证哪两个三角形全等即可）．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据角平分线的性质得到DE=DF，由全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AE=AF，BE=CF，等量代换即可得到结论；
（3）如图2，过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质得到DN=DE，DB=DC，推出Rt△DBE≌Rt△DCN（HL），根据全等三角形的性质得到BE=CN，由于Rt△DEA≌Rt△DNA（HL），根据全等三角形的性质得到AN=AE，等量代换即可得到结论．

解答 （1）证明：∵DM垂直平分BC，
∴DB=DC，
∵∠1=∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△DEB与Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC；

（2）∵∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE≌Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
又∵Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴BE=CF，
∴AB+AC=AE+BE+AF-CF=2AE；

（3）BE=AE+AC．
证明：如图2，过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，
则DN=DE，DB=DC，
又∵DE⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DEB=∠DNC=90°，
在Rt△DBE和Rt△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DF=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△DBE≌Rt△DCN（HL）
∴BE=CN，
在Rt△DEA和Rt△DNA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEA≌Rt△DNA（HL），
∴AN=AE，
∴BE=AC+AN=AC+AE，
即BE=AE+AC．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，会添加适当的辅助线，会利用中垂线的性质找出全等的条件是解此题的关键．