【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠A=2∠CBF.
(1)求证:BF与⊙O相切.
(2)若BC=CF=4,求BF的长度.
【答案】(1)证明见解析;(2)BF=4.
【解析】
(1)连接AE,根据三角形的性质求出∠AEB=90°,根据切线的判定定理证明即可;
(2)结合图形根据直角三角形的性质求出BF.
(1)连接AE,如图,
∵AB为直径,
∴∠AEB=90°,
∴AE⊥BC,
∵AB=AC,
∴BE=CE,AE平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∵∠BAC=2∠4,
∴∠1=∠4,
∵∠1+∠3=90°,
∴∠3+∠4=90°,
∴AB⊥BF,
∴BF与⊙O相切;
(2)∵BC=CF=4,
∴∠F=∠4,
而∠BAC=2∠4,
∴∠BAC=2∠F,
∴∠F=30°,∠BAC=60°,
∴△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=4,
∴BF===4.
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【题目】已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.
(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.
(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.
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【题目】如图1,正方形ABCD的边长为4,对角线AC、BD交于点M.
(1)直接写出AM= ;
(2)P是射线AM上的一点,Q是AP的中点,设PQ=x.
①AP= ,AQ= ;
②以PQ为对角线作正方形,设所作正方形与△ABD公共部分的面积为S,用含x的代数式表示S,并写出相应的x的取值范围.(直接写出,不需要写过程)
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【题目】如图,网格中小正方形的边长为1,(0,4).
(1) 在图中标出点,使点到点,,,的距离都相等;
(2) 连接,,,此时是___________三角形;
(3) 四边形的面积是___________.
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【题目】已知⊙O的直径为10,点A,点B,点C在⊙O上,∠CAB的平分线交⊙O于点D.
(1)如图①,若BC为⊙O的直径,AB=6,求AC,BD,CD的长;
(2)如图②,若∠CAB=60°,求BD的长.
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