Question

如图，已知AC切⊙O于A，AB为直径，C为⊙O外一点，BC交⊙O于点D，AC=6，BD=5，连接AD．
（1）证明：△CAD∽△CBA；（2）求线段DC的长．

Answer 1

分析：（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△CAD∽△CBA；
（2）根据相似三角形的对应边成比例可求得CD的长．

解答：证明：（1）∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
又∵CA是切线，
∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°．
∴∠BAC=∠CDA=90°．
又∵∠BCA=∠DCA，
∴△CAD∽△CBA．

（2）由（1）知△CAD∽△CBA，
∴

DC

CA

=

AC

CB

．
设DC=x，
则

x

6

=

6

x+5

，
即x²+5x-36=0，
解得x=4或x=-9（舍去），
∴CD的长为4．

点评：此题主要考查相似三角形的判定及切线的性质的理解及运用，同时也考查了因式分解法解一元二次方程．