Question

在平面直角坐标系xOy中，把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角，得到矩形ADEF，设AD与BC相交于点G，且A（-9，0），C（0，6），如图甲．
（1）当α=60°时，请猜测△ABF的形状，并对你的猜测加以证明．
（2）当GA=GC时，求直线AD的解析式．
（3）当α=90°时，如图乙．请探究：经过点F，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形ADEF的对称中心H，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据旋转的知识可得AB=AF，根据∠BAF=60°可得∴△ABF为等边三角形；
（2）利用△AGB为直角三角形，根据勾股定理可得CG的长，也求得了G的坐标，利用点A、G的坐标可得所求的直线解析式；
（3）易得F坐标，利用顶点式可得经过点F，且以点B为顶点的抛物线，易得H的坐标，把横坐标代入所得函数解析式，看是否等于纵坐标即可．
解答：解：（1）矩形ADEF是矩形AOCB绕点A逆时针旋转α=60°角而得，
∴AF=AB．
又∵∠FAB+∠BAG=∠α+∠BAG=90°，
即∠FAB=∠α=60°．
∴△ABF为等边三角形．

（2）设CG=x，则BG=9-x，而AB=OC=6，GA=GC．
∴在Rt△AGB中，（9-x）²+6²=x²．
解之得．
∴点G坐标为（-，6）．
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∵AD经过A（-9，0），G（-，6），
∴，
解之得．
∴所求直线AD的解析式为：．

（3）据题意，∵抛物线顶点B（-9，6），又过点F（-15，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x+9）²+6．
∴a（-15+9）²+6=0，即．
∴抛物线的解析式为．
又∵点H是矩形ADEF的对称中心，
∴H（-12，）．
将x=-12代入，得．
∴抛物线要经过矩形ADEF的对称中心H．
点评：综合考查二次函数的应用；用到的知识点为：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；二次函数的顶点式可表示为：y=a（x-h）²+k．利用勾股定理得到CG的长是解决本题的突破点．