Question

16．如图，⊙A的圆心A在反比例函数y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象上，且与x轴、y轴相切于点B、C，一次函数y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+b的图象经过点C，且与x轴交于点D，与⊙A的另一个交点为点E．
（1）求b的值及点D的坐标；
（2）求CE长及∠CBE的大小；
（3）若将⊙A沿y轴上下平移，使其与y轴及直线y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+b均相切，求平移的方向及平移的距离．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接AC、AB．首先证明四边形ABOC是正方形，求出点C坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图2中，连接BC、BE，作AM⊥CE于M．在Rt△DOC中，由tan∠CDO=$\frac{OC}{DO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，推出∠CDO=30°，由AC∥BD，推出∠ECA=∠CDO=30°，∠CAM=60°，
由AM⊥CE，推出∠CAM=∠EAM=60°，推出∠CAE=120°，在Rt△AMC中，根据CM=AC•cos30°=$\frac{3}{2}$，推出CE=2CM=3，可得∠CBE=$\frac{1}{2}$∠CAE=60°，由此即可解决问题．
（3）分两种情形求解如图3中，当⊙A″与直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$相切于点E，AB与直线CD交于点K，想办法求出AA″，即可解决问题．同法求出AA′．

解答 解：（1）如图1中，连接AC、AB．

∵⊙A与x轴、y轴相切于点B、C，
∴AC⊥OC，AB⊥OB，AC=AB，四边形ABOC是正方形，设A（m，m），
∵点A在y=$\frac{3}{x}$上，
∴m²=3，
∵m＞0，
∴点A坐标（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
∴OC=$\sqrt{3}$，
∴点C坐标（0，$\sqrt{3}$），
∵一次函数y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+b的图象经过点C，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴一次函数的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，令y=0得x=-3，
∴D（-3，0），b=$\sqrt{3}$．

（2）如图2中，连接BC、BE，作AM⊥CE于M．

在Rt△DOC中，∵tan∠CDO=$\frac{OC}{DO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CDO=30°，
∵AC∥BD，
∴∠ECA=∠CDO=30°，∠CAM=60°，
∵AM⊥CE，
∴∠CAM=∠EAM=60°，
∴∠CAE=120°，
在Rt△AMC中，CM=AC•cos30°=$\frac{3}{2}$，
∴CE=2CM=3，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠CAE=60°．

（3）如图3中，

①当⊙A″与直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$相切于点E，AB与直线CD交于点K，
∵AB∥OC，
∴∠A″KE=∠DKB=∠DCO=60°，
在Rt△A″EK中，A″E=$\sqrt{3}$，A″K=A″E•cos30°=$\frac{3}{2}$，
在Rt△CKA中，AK=CA•tan30°=1，
∴AA″=A″K+AK=1+$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴⊙A向上平移$\frac{5}{2}$的单位⊙A与y轴及直线y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+$\sqrt{3}$均相切．
②同理可得⊙A向下平移$\frac{1}{2}$个单位⊙A与y轴及直线y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+$\sqrt{3}$均相切．

点评 本题考查圆综合题、一次函数的应用、反比例函数的应用、锐角三角函数、正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．