Question

已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，关于x的方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有两个相等实根，且3c=a+3b
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求sinA+sinB的值．

Answer 1

分析：（1）先把方程整理为一般式，再根据判别式的意义得到△=4b²-4（c-a）（a+c）=0，则a²+b²=c²，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形形状；
（2）由于a²+b²=c²，3c=a+3b，消去a得（3c-3b）²+b²=c²，变形为（4c-5b）（c-b）=0，则b=

4

5

c，a=

3

5

c，根据正弦的定义得sinA=

a

c

，sinB=

b

c

，所以sinA+sinB=

a+b

c

，然后把b=

4

5

c，a=

3

5

c代入计算即可．

解答：解：（1）方程整理为（c-a）x²+2bx+a+c=0，
根据题意得△=4b²-4（c-a）（a+c）=0，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC为直角三角形；

（2）∵a²+b²=c²，3c=a+3b
∴（3c-3b）²+b²=c²，
∴（4c-5b）（c-b）=0，
∴4c=5b，即b=

4

5

c，
∴a=3c-3b=

3

5

c
∵sinA=

a

c

，sinB=

b

c

，
∴sinA+sinB=

a+b

c

=

3 5 c+ 4 5 c

c

=

7

5

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义．