Question

【题目】如图，菱形的边长为1，，点E是边上任意一点（端点除外），线段的垂直平分线交，分别于点F，G，，的中点分别为M，N．

（1）求证：；

（2）求的最小值；

（3）当点E在上运动时，的大小是否变化？为什么？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）不变，理由见解析.

【解析】

（1）连接CF，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到CF=EF和CF=AF即可得证；

（2）连接AC，根据菱形对称性得到AF+CF最小值为AC，再根据中位线的性质得到MN+NG的最小值为AC的一半，即可求解；

（3）延长EF，交DC于H，利用外角的性质证明∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，再由AF=CF=EF，得到∠AEF=∠EAF，∠FEC=∠FCE，从而推断出∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FAE+∠CEF，从而可求出∠ABF=∠CEF=30°，即可证明.

解：（1）连接CF，

∵FG垂直平分CE，

∴CF=EF，

∵四边形ABCD为菱形，

∴A和C关于对角线BD对称，

∴CF=AF，

∴AF=EF；

（2）连接AC，

∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，

∴MN=AF，NG=CF，即MN+NG=（AF+CF），

当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，

AF+CF最小，即此时MN+NG最小，

∵菱形ABCD边长为1，∠ABC=60°，

∴△ABC为等边三角形，AC=AB=1，

即MN+NG的最小值为；

（3）不变，理由是：

延长EF，交DC于H，

∵∠CFH=∠FCE+∠FEC，∠AFH=∠FAE+∠FEA，

∴∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，

∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：

∠AFD=∠CFD=∠AFC，

∵AF=CF=EF，

∴∠AEF=∠EAF，∠FEC=∠FCE，

∴∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FAE+∠CEF，

∴∠ABF=∠CEF，

∵∠ABC=60°，

∴∠ABF=∠CEF=30°，为定值.