Question

如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，∠MEA=∠BEA．EM交CD于F，交AD的延长线于M，下列结论：①AM=EM；②AE²=2BE•EM；③EF=2MF．其中正确的结论个数是（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

Answer 1

分析：由正方形的性质，∠MEA=∠BEA，易证得∠EAD=∠MEA，即可得AM=EM；
过点M作MN⊥AE于点N，易证得△MEN∽△AEB，然后由相似三角形的对应边成比例与等腰三角形的性质，易证得AE²=2BE•EM；
首先过点M作MK∥CD，交BC的延长线于点K，设DM=y，CE=BE=x，利用勾股定理，可得x=2y，然后由相似三角形的对应边成比例，可证得EF=2MF．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠EAD=∠BEA，
∵∠MEA=∠BEA，
∴∠EAD=∠MEA，
∴AM=EM；
故①正确；
过点M作MN⊥AE于点N，
∵AM=EM，
∴AN=EN=

1

2

AE，
∴∠MNE=∠B=90°，
∵∠MEA=∠BEA，
∴△MEN∽△AEB，
∴

EM

AE

=

EN

BE

，
∴EN•AE=BE•EM，
∴

1

2

AE²=BE•EM，
即AE²=2BE•EM；
故②正确；
过点M作MK∥CD，交BC的延长线于点K，
在四边形DMKC是矩形，
∴MK=CD，CK=DM，
设DM=y，CE=BE=x，
则AD=CD=BC=2x，EM=AM=AD+DM=2x+y，EK=CE+CK=x+y，
∴MK=CD=2x，
在Rt△MEK中，MK²+EK²=EM²，
∴（2x）²+（x+y）²=（2x+y）²，
∴x=2y，
∴CE：DM=2，
∵AD∥BC，
∴△CEF∽△DMF，
∴EF：MF=CE：DM=2，
∴EF=2MF．
故③正确．
故选D．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．