Question

如图(1)，Rt△ABC中，AC＝BC，M是AC中点，CF⊥MB交AB于E，求证：∠AME＝∠CMB．

Answer 1

答案：
解析：

证明：如图(2)，作∠ACB的平分线CN交BM于点N． 　　∵∠MBC＜∠CBA＝ 　　而∠MCF＝∠MBC，∴∠MCF＜ 　　∴角平分线CN交BF于B点和F点之间，由∠ACB＝ 　　CF⊥BM，可知∠1＝∠2 　　∴在Rt△AEC与△CNB中 　　 　　∴△AEC≌△CNB(ASA) 　　∴CN＝AE 　　在△AME与△CMN中 　　∴△AME≌△CMN(SAS) 　　∴∠AME＝∠CMN 　　即∠AME＝∠CMB 　　解析：证法1：延长CE过A作AN∥CB，构造直角三角形全等来证明，∠ANC＝∠CMB，再利用△ANE≌△AME来证明∠ANC＝∠AME，等量代换，即可证明结论． 　　证法一：过A作AN∥CB，交CE延长线于N 　　∴∠ACB＝，CF⊥BM，∴∠1＝∠2 　　Rt△ANC与Rt△CMB中 　　∴Rt△ANC≌Rt△CMB(AAS) 　　∴∠ANC＝∠CMB，AN＝CM 　　∴AN＝CM＝AM 　　又∵AN∥CB，∠4＝∠ABC＝ 　　∴∠4＝∠3＝ 　　∴在△AME和△ANE中 　　∴∠ANE＝∠AME，∴∠AME＝∠CMB 　　证法2：作直角∠ACB的平分线，利用等腰直角三角形的性质来证明△AEC≌△CNB，继而再证△AME≌△CMN