Question

如图，已知二次函数y=ax²+4x+c的图象经过点A（1，-1）和点B（-3，-9）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，-m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）把抛物线解析式写成顶点式解析式，再写成对称轴与顶点坐标即可；
（3）把点P的坐标代入抛物线解析式计算即可求出m的值，再根据二次函数的对称性，点Q与点P到x轴的距离相等，然后求解即可．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+4x+c的图象经过点A（1，-1）和点B（-3，-9），
∴

a+4+c=-1 9a+4×(-3)+c=-9

，
解得

a=1 c=-6

，
∴该二次函数的表达式为y=x²+4x-6；

（2）∵y=x²+4x-6=x²+4x+4-4-6=（x+2）²-10，
∴该抛物线的对称轴为直线x=-2，
顶点坐标为（-2，-10）；

（3）∵点P（m，-m）在函数图象上（m＞0），
∴m²+4m-6=-m，
整理得m²+5m-6=0，
解得m₁=1，m₂=-6（舍去），
∴点P的坐标为（1，-1），
∵点P、Q关于抛物线的对称轴对称，
∴点Q到x轴的距离等于点P到x轴的距离，为1．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，以及二次函数的对称轴与顶点坐标的求解，先求出函数解析式是解题的关键．