Question

【题目】如图，二次函数的图象与轴交于点A、B，与轴交于点C，点B的坐标为 ，点在轴上，连接AD．

（1）＝　 　；

（2）若点是抛物线在第二象限上的点，过点作PF⊥x轴，垂足为，与交于点E．是否存在这样的点P，使得PE=7EF？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点在抛物线上，且点的横坐标大于-4，过点作，垂足为H，直线与轴交于点K，且，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）P点坐标（-2,8）；（3）P点坐标为（-1，9）或（-1，9）或（，-）.

【解析】

（1）B点坐标代入二次函数得出b值；

（2）设出P点坐标，根据函数求出其余点坐标，进而求出线段长度，根据所给关系列出等式，即可求出P点坐标；

（3）延长AD交抛物线于T，过P作PF⊥x轴于F，交AD于E，根据同角的余角相等易证cos∠FAD=cos∠EPH=，进而求得PH=PE，根据已知的面积的关系式可求得PK=PH，进而求得PE，PF关系，设P点横坐标为t，可用t表示PE，PF，可列得关于t的方程，求得的t值要注意是否符合各种情况下t的取值范围．

（1）∵y=-x+bx+8，B点坐标代入函数，∴b=-2；

故答案为：-2；

（2）由（1）得y=-x-2x+8，∴A点坐标（-4,0），B点坐标（2,0），

∵D点坐标为（0,2），

∴AD解析式为y=x+2，

设P（t，-t-2t+8），

∴EF=+2，PE=-t-t+6，

若PE=7EF，则有-t-t+6=7(+2)，

解得t=-2或t=-4（舍去），

∴P点坐标为（-2,8），

故存在这样的点P，使得PE=7EF，点P的坐标为（-2,8）；

（3）如图，延长AD交抛物线于T，过P作PF⊥x轴于F，交AD于E，

①若P在直线AT上方，

∵OA=4，OD=2，∠AOD=90°，

∴AD==2√5，

∵AH⊥PH，

∴∠FAD+∠AEF=90°，∠EPH+∠PEH=90°，∠AEF=∠PEH，

∴∠FAD=∠EPH，

∴cos∠FAD====cos∠EPH=，

∴PH=PE，

∴cos∠FPK==，∴PK=PF，

∵，∴HK=PH，∴PK=PH，

∴PF=PH=PE，

∴=，

设P（t，-t-2t+8），

则有5(-t-2t+8)=6(-t-t+6)，

得t+5t+4=0，

解得t=-1或t=-4（舍去），

∴P点坐标为（-1，9）；

②若P在直线AT下方，且在x轴上方，此时S△AKA＞S△PHA，与题意不符，舍去；

③若P在x轴下方，可得2PE=5PF，

得方程2(t+t-6)=6(t+2t-8)，

得3t+5t-28=0，

解得t=或t=-4（舍去），

∴P点坐标为（，-），

综上所述，P点坐标为（-1，9）或（-1，9）或（，-）．