Question

4．已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：
（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+$\sqrt{3}$，PA=$\sqrt{2}$，则：
①线段PB=$\sqrt{6}$，PC=2；
②猜想：PA²，PB²，PQ²三者之间的数量关系为PA²+PB²=PQ²；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点P满足$\frac{PA}{PB}$=$\frac{1}{3}$，求$\frac{PC}{AC}$的值．（提示：请利用备用图进行探求） 

Answer 1

分析 （1）①在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，从而可求得CD、PD的长，然后在Rt三角形CDP中依据勾股定理可求得PC的长；②△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，从而可求得：CD=AD=DB，然后根据AP=DC-PD，PB=DC+PD，可证明AP²+BP²=2PC²，因为在Rt△PCQ中，PQ²=2CP²，所以可得出AP²+BP²=PQ²的结论；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DP-BD）=（PD-DC），可证明AP²+BP²=2PC²，因为在Rt△PCQ中，PQ²=2CP²，所以可得出AP²+BP²=PQ²的结论；
（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PD的长（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的长度即可．

解答 解：（1）如图①：

①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+$\sqrt{3}$
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∵PA=$\sqrt{2}$，
∴PB=$\sqrt{6}$，
∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，
∴△APC≌△BQC．
∴BQ=AP=$\sqrt{2}$，∠CBQ=∠A=45°．
∴△PBQ为直角三角形．
∴PQ=$2\sqrt{2}$．
∴PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}×$PQ=2．
故答案为：$\sqrt{6}$，2；
②如图1．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB．
∵AP²=（AD-PD）²=（DC-PD）²=DC²-2DC•PD+PD²，PB²=（DB+PD）²=（DC+DP）²=CD²+2DC•PD+PD²
∴AP²+BP²=2CD²+2PD²，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC²=DC²+PD²，
∴AP²+BP²=2PC²．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC²=PQ²．
∴AP²+BP²=PQ²

（2）如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．

∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB．
∵AP²=（AD+PD）²=（DC+PD）²=CD²+2DC•PD+PD²，
PB²=（DP-BD）²=（PD-DC）²=DC²-2DC•PD+PD²，
∴AP²+BP²=2CD²+2PD²，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC²=DC²+PD²，
∴AP²+BP²=2PC²．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC²=PQ²．
∴AP²+BP²=PQ²．

（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．

①当点P位于点P₁处时．
∵$\frac{{P}_{1}A}{{P}_{1}B}=\frac{1}{3}$，
∴${P}_{1}A=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{2}DC$．
∴${P}_{1}D=\frac{1}{2}DC$．
在Rt△CP₁D中，由勾股定理得：$C{P}_{1}=\sqrt{D{C}^{2}+{P}_{1}{D}^{2}}$=$\sqrt{D{C}^{2}+（\frac{1}{2}DC）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$DC，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{2D{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$DC，
∴$\frac{{P}_{1}C}{AC}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}DC}{\sqrt{2}DC}=\frac{\sqrt{10}}{4}$．
②当点P位于点P₂处时．
∵$\frac{{P}_{2}A}{{P}_{2}B}$=$\frac{1}{3}$，
∴${P}_{2}A=\frac{1}{2}AB=CD$．
在Rt△CP₂D中，由勾股定理得：${P}_{2}C=\sqrt{D{C}^{2}+{P}_{2}{D}^{2}}$=$\sqrt{D{C}^{2}+（2DC）^{2}}$=$\sqrt{5}DC$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{2D{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$DC，
∴$\frac{{P}_{2}C}{AC}=\frac{\sqrt{5}DC}{\sqrt{2}DC}=\frac{\sqrt{10}}{2}$．
综上所述，$\frac{PC}{AC}$的比值为$\frac{\sqrt{10}}{4}$或$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题主要考查的是等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质证得：CD=AD=DB，将PA、PA、PQ、AC、PC用含DC的式子表示出来是解题的关键．