Question

16．已知：a+x²=2015，b+x²=2016，c+x²=2017，且abc=12，则$\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}+\frac{b}{ac}$-$\frac{1}{a}$$-\frac{1}{b}$$-\frac{1}{c}$=0.25．

Answer 1

分析 先将已知所给式子依次相减得：a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1；再把所求式子通分计算化成$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}+{b}^{2}-bc-ac-ab}{abc}$，为了将分子化成完全平方式，分子和分母同时乘以2，进行变形，再把所求的式子整体代入即可．

解答 解：由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+{x}^{2}=2015①}\\{b+{x}^{2}=2016②}\\{c+{x}^{2}=2017③}\end{array}\right.$
①-②得：a-b=-1
①-③得：a-c=-2
②-③得：b-c=-1
∴$\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}+\frac{b}{ac}$-$\frac{1}{a}$$-\frac{1}{b}$$-\frac{1}{c}$
=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}+{b}^{2}-bc-ac-ab}{abc}$
=$\frac{（a-c）^{2}+（a-b）^{2}+（b-c）^{2}}{2abc}$
=$\frac{（-2）^{2}+（-1）^{2}+（-1）^{2}}{2×12}$
=$\frac{1}{4}$=0.25
故答案为：0.25

点评 本题综合考查了分式的加减法和完全平方公式，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本类题而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：①转化已知条件后整体代入求值；②转化所求问题后将条件整体代入求值；③既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．本题就是第三种情况，既要转化条件，把已知式依次相减，也要转化问题，对所求式子通分、配方等，然后再整体代入求值．