Question

如图1，梯形ABCD中AB∥CD，且AB=2CD，点P为BD的中点，直线AP交BC于E，交DC的延长线于F．
（1）求证：DC=CF；
（2）求

AP

PE

的值；
（3）如图2，连接DE，若AD⊥ED，求证：∠BAE=∠DBE．

Answer 1

分析：（1）根据条件可以得出△ABP≌△FDP，由全等三角形的性质就可以得出结论；
（2）连结BF，由条件可以得出点E是△BDF的重心，由三角形的重心的性质就可以得出结论；
（3）延长DE交BF于G，可以得出四边形ABFD是平行四边形，就有∠DBF=∠DFB=∠DAB=∠BDA，进而得出△ADP≌△BFC，由全等三角形的性质及等式的性质就可以得出结论．

解答：（1）AB∥CD，
∴∠ABP=∠FDP，∠BAP=∠DFP
∵点P为BD的中点，
∴BP=DP．
在△ABP和△FDP中

∠ABP=∠FDP ∠BAP=∠DFP BP=DP

，
∴△ABP≌△FDP（AAS），
∴AB=DF．AP=PF．
∵AB=2CD，
∴DF=2CD．
即DC=CF；

（2）连结BF
∵P是BD的中点，DC=CF，
∴E是△BDF的重心，
∴

PF

PE

=3．
∵AP=PF，
∴

AP

PE

=3．

（3）延长DE交BF于G，
∵E是△BDF的重心，
∴BG=GF，
∵AB∥DF，AB=DF，
∴ABFD是平行四边形，
∴AD∥BF，DP=

1

2

BD，
∵AD⊥ED，
∴DG⊥BF，
∴DB=DF=AB，
∴∠DBF=∠DFB=∠DAB=∠BDA，
∵CF=

1

2

DF，
∴CF=DP．
在△ADP和△BFC中，

AD=BF ∠ADB=∠FBD DP=FC

∴△ADP≌△BFC（SAS），
∴∠DAP=∠FBC，
∴∠DAB-∠DAP=∠DBF-∠FBC，
∴∠BAP=∠DBE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定与性质的运用，三角形的重心的性质的运用，解答时添加适当的辅助线是解答本题的关键．