Question

7．求使不等式|x²+px+q|≤2在1≤x≤5的恒成立的实数对（p，q）．

Answer 1

分析 令f（x）=x²+px+q，若|x²+px+q|≤2在1≤x≤5的恒成立，则首先需满足$\left\{\begin{array}{l}{-2≤f（1）≤2}\\{-2≤f（5）≤2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2≤1+p+q≤2}\\{-2≤25+5p+q≤2}\end{array}\right.$  （1），由该不等式组可得出p的取值范围，从而确定函数
f（x）=x²+px+q的对称轴x=-$\frac{p}{2}$在1≤x≤5中，所以p、q还需满足f（-$\frac{p}{2}$）≥-2，结合不等式组（1）可求得p、q的值．

解答 解：令f（x）=x²+px+q，
∵|x²+px+q|≤2在1≤x≤5的恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤f（1）≤2}\\{-2≤f（5）≤2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2≤1+p+q≤2}\\{-2≤25+5p+q≤2}\end{array}\right.$  （1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤-1-p-q≤2}&{①}\\{-2≤25+5p+q≤2}&{②}\end{array}\right.$，
①+②得：-7≤p≤-5，
∴$\frac{5}{2}$≤-$\frac{p}{2}$≤$\frac{7}{2}$，
∴函数f（x）=x²+px+q的对称轴x=-$\frac{p}{2}$在1≤x≤5中，
∴p、q还需满足f（-$\frac{p}{2}$）≥-2，即$\frac{4q-{p}^{2}}{4}$≥-2，即q≥$\frac{{p}^{2}}{4}$-2，
结合不等式组（1）可得p、q需满足不等式组：$\left\{\begin{array}{l}{-2≤1+p+q≤2}\\{-2≤25+5p+q≤2}\\{q≥\frac{{p}^{2}}{4}-2}\end{array}\right.$，
解该不等式组可得p=-6，q=7，
∴使不等式|x²+px+q|≤2在1≤x≤5的恒成立的实数对为（-6，7）．

点评 本题主要考查一元二次不等式，一元二次不等式问题可转化为二次函数问题，利用二次函数的图象和性质解题可将问题简单化．