Question

△ABC中，∠A=32°，将△ABC绕平面中的某一点D按顺时针方向旋转一定角度得到△A₁B₁C₁
（1）若旋转后的图形如图所示，请在图中用尺规作出点D，保留作图痕迹，不要求写作法；
（2）若将△ABC按顺时针方向旋转到△A₁B₁C₁的旋转角度为α（0°＜α＜360°）且AC⊥A₁B₁，直接写出旋转角度α的值为

58°或148°或238°或328°

．

Answer 1

分析：（1）连接AA₁、CC₁，然后作AA₁、CC₁的垂直平分线，交点即为旋转中心D；
（2）作出图形，根据旋转的性质可得∠CAD=∠C₁A₁D，然后利用三角形的内角和定理列式计算求出旋转角的最小值，再依次写出其他情况的旋转角．

解答：解：（1）如图所示，点D即为所求的旋转中心；

（2）如图，由旋转的性质，∠CAD=∠C₁A₁D，设为x，
则∠CAD+∠ADA₁=∠B₁A₁C₁+∠C₁A₁D+∠ADA₁，
∵AC⊥A₁B₁，
∴∠ADA₁=90°，
∴x+90°=32°+x+∠ADA₁，
∴∠ADA₁=58°，
即α=58°，
∵0°＜α＜360°，
α=58°+180°=238°，也满足AC⊥A₁B₁，
综上所述，α=58°或238°时，AC⊥A₁B₁．
故答案为：58°或238°．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，主要考查了旋转中心的确定，三角形的内角和定理，旋转的性质，（2）作出草图更形象直观．