分析 (1)由OD=OB得∠1=∠ODB,则根据三角形外角性质得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1,而∠A=2∠1,所以∠DOC=∠A,由于∠A+∠C=90°,所以∠DOC+∠C=90°,则可根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线;
(2)由∠A=60°得到∠C=30°,∠DOC=60°,根据含30度的直角三角形三边的关系得CD=2$\sqrt{3}$,然后利用阴影部分的面积=S△COD-S扇形DOE和扇形的面积公式求解.
解答 (1)证明:∵OD=OB,
∴∠1=∠ODB,
∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1,
∵∠A=2∠1,
∴∠DOC=∠A,
∵∠A+∠C=90°,
∴∠DOC+∠C=90°,
∴OD⊥DC,
∴AC是⊙O的切线;
(2)解:∵∠A=60°,
∴∠C=30°,∠DOC=60°,
在Rt△DOC中,OD=2,
∴CD=$\sqrt{3}$OD=2$\sqrt{3}$,
∴阴影部分的面积=S△COD-S扇形DOE
=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$.
点评 本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了扇形面积的计算.
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